[나노 화학] 3. SC(단순입방구조), FCC(면심입방구조), BCC(체심입방구조)의 충진율

저번 포스팅에서는 결정질, 비정질과 여러 unit cell에 대해서 다뤘습니다. 이번 포스팅에서는 기본적인 unit cell의 충진율(Packing density)을 다뤄보도록 하겠습니다.

우리가 다룰 기본적인 unit cell은 저번 포스팅에서 봤던 것처럼 SC(simple cubic, 단순입방구조), FCC(face-centered cubic, 면심입방구조), BCC(Body-centered cubic, 체심입방구조) 입니다. 먼저 단위격자 안의 원자 갯수를 살펴 본 후에 충진율을 구해보도록 하겠습니다.

1. 단위격자 안의 원자 갯수

먼저, 각각의 unit cell(단위 격자) 안에 원자가 몇 개씩 포함되어 있는지를 봐야하는데요, 

위 그림처럼 보면 하나의 unit cell 안에 SC는 4개의 원자가, FCC는 14개의 원자가, BCC는 9개의 원자가 있는 '것'처럼 보일 수가 있죠.

하지만!! 실제로는 이런 단위 격자가 '앞뒤위아래양옆'으로 붙어있기 때문에 하나의 원자는 여러 개의 단위 격자에 포함이 되버립니다. 따라서 이러한 것을 감안하여 하나의 단위 격자안에 원자가 몇 개있는지를 살펴보도록 합시다. 아래의 그림이 참고가 될 것 같아요.

자 머릿속으로 그림을 그리시면서 이 포스팅을 보시면 좋을 것 같아요.

먼저, 단순입방구조(SC)부터 보도록 합시다! 단순입방구조는 단위격자의 꼭지점에만 원자가 있는 것을 알 수 있죠. 하나의 원자는 몇 개의 단위 격자에 포함이 될까요? 바로 8개 입니다.

따라서 단순입방구조 단위격자 1개 안에 들어있는 원자의 수는 꼭짓점에 1/8 짜리가 총 8개가 있다고 생각할 수 있으므로

즉, 1개 임을 알 수 있습니다. 

그 다음, 면심입방구조(FCC)를 보도록 해볼게요! 면심입방구조는 단위격자의 꼭지점에 8개, 각 면의 중심에 6개의 원자가 있습니다. 이 때, 꼭지점의 원자는 위에서 봤듯이 하나의 단위격자에 포함되는 부분이 1/8 입니다. 그리고 각 면의 중심에 있는 원자는 하나의 단위격자 안에 얼마나 포함될까요? 바로 1/2 입니다.

따라서 면심입방구조 단위격자 1개 안에 들어있는 원자의 수는 꼭짓점에 1/8 짜리가 총 8개, 면의 중심에 1/2 짜리가 총 6개 있으므로

즉, 4개 임을 알 수 있습니다.

마지막으로, 체심입방구조(BCC)를 볼게요! 체심입방구조는 단위격자의 꼭지점에 8개, 중심에 1개의 원자가 있습니다. 이 때, 꼭지점의 원자는 하나의 단위격자에 포함되는 부분이 1/8 이고, 단위격자의 중심에 있는 원자는 그 단위격자에만 포함이 되는 것을 알 수 있죠?

따라서 체심입방구조 단위격자 1개 안에 들어있는 원자의 수는 꼭짓점에 1/8짜리가 8개, 중심에 1개 있으므로

즉, 2개 임을 알 수 있습니다.

2. 충진율 계산

자, 이제 준비는 끝났습니다. 이제 각 구조의 충진율을 구하면 되겠죠? 여기서 충진율이란?? 전체 단위격자의 부피중 단위격자 안의 원자가 차지하는 부피를 의미합니다. 위에서 했던 것처럼 SC, FCC, BCC 순으로 살펴보도록 할게요. (모든 단위 격자의 한 변의 길이는 a라고 하겠습니다.)

1) 단순입방구조

이 그림에서 보실 수 있듯이 단순입방구조의 단위격자 한 변의 길이 a는 원자의 반지름의 2배임을 알 수 있습니다. 단위격자 하나에 원자의 갯수는 1개이므로 부피의 비를 구해보면 다음과 같습니다.

즉, 단순입방구조의 충진율은 52.4% 임을 알 수 있습니다.

2) 면심입방구조

면심입방구조는 한 면의 대각선의 길이가 원자 반지름의 4배입니다. 한 면의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 구할 수 있고, 따라서 r과 a의 관계식은 다음과 같습니다.

따라서 면심입방구조의 충진율을 구해보면

즉, 면심입방구조의 충진율은 74.05%임을 알 수 있습니다.

3) 체심입방구조

체심입방구조는 단위격자의 대각선의 길이가 원자 반지름의 4배입니다. 따라서 r과 a의 관계식을 써보면 다음과 같습니다.

따라서 체심입방구조의 충진율을 구해보면

즉, 면심입방구조의 충진율은 68.02%임을 알 수 있습니다.

이렇게 해서 모든 기본 단위격자의 충진율을 계산해 봤는데 여기서 알 수 있는 것은 면심입방이 가장 충진율이 높으므로 원자들이 더 빼곡히 있다는 것이고, 단순입방은 충진율이 가장 낮아 빈공간이 많다는 것을 알 수 있습니다.

이번 포스팅이 생각보다 길어져서 다음 포스팅에서는 진짜! lattice plane(격자면), lattice directions에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다!!!

참고!!

HCP(조밀 육방 구조)는 충진율이 FCC와 같습니다! 나중에 기회가 되면 유도하는 방법도 올려보겠습니다.

이미지 출처

http://chem-guide.blogspot.kr/2010/04/simple-cubic-face-centered-and-body.html

http://jahschem.wikispaces.com/cubic+unit+cells?showComments=1

http://pms.iitk.ernet.in/wiki/index.php/File:Jk1_25.png